小工具集合

基于项目 smilelc3/MyLittleTool 和 smilelc3/sudoku-solver，并使用 wasm 技术实现 JavaScript 调用 C/C++ 和 Go。

某些题目，由于要计算的答案非常大（超出64位整数的范围），会要求把答案对 \(10^9 + 7\)取模。如果在计算中途没有处理得当的话，会出现WA（错误）或则TLE（超时）。

例如计算多项乘积时，如果没有中途及时取模，乘法结果会溢出（例如C/C++），从而得到非预期的答案 。对于 Python 来说，虽然没有溢出，但是大整数（big integer）之间的运算不是 \(O(1)\)，可能会导致LTE。

加法和乘法的取模

一般涉及到取模（\(\bmod\)）的题目，会用到如下两个恒等式 \[ \begin{align} (a+b) \bmod m &= ((a \bmod m) + (b \bmod m)) \bmod m \\ (a \cdot b) \bmod m &= ((a \bmod m) \cdot (b \bmod m)) \bmod m \\ \end{align} \]

证明：根据带余除法，\({\forall} a \in \mathbb{z}\)，都可以表示为\(a = qm + r\ (m \neq 0)\)，其中整数\(q\)为\(a\)除以\(m\)的商（quotient），整数\(r\)为\(a\)除以\(m\)的余数（remainder），即\(r = a \bmod m\)。

设\(a = q_1 m + r_1\)，\(b = q_2 m + r_2\)。 第一个恒等式： \[ \begin{align} (a+b) \bmod m &= (q_1 m + r_1 +q_2 m + r_2) \bmod m \\ &=((q_1 + q_2)m + r_1 + r_2) \bmod m \\ &=(r_1 + r_2) \bmod m \end{align} \] 又因为\(r_1 = a \bmod m\)，\(r_2 = b \bmod m\)有： \[ (a+b) \bmod m = ((a \bmod m) + (b \bmod m)) \bmod m \]

第二个恒等式： \[ \begin{align} (a\cdot b) \bmod m &= ((q_1 m + r_1)(q_2 m + r_2)) \bmod m \\ &= (q_1 q_2 m^2 + (q_1 r_2 + q_2 r_1)m + r_1 r_2) \bmod m \\ &=(r_1 r_2) \bmod m \end{align} \]

同样有： \[ (a\cdot b) \bmod m =((a \bmod m)\cdot (a \bmod m)) \bmod m \]

根据这两个恒等式，我们可以在计算过程中（例如循环中），对加法和乘法的结果取模，而不是在计算最终结果后再取模。

注意：如果涉及到幂运算，不能随意取模。如果指数为整数，可以用快速幂。

如果计算过程中有减法，可能会产生负数，处理不当也会导致 WA。如何正确处理这种情况呢？

同余

首先引入同余（congruence modulo） 的概念。 两个整数\(a\)，\(b\)，若它们除以正整数\(m\)所得的余数相等，则称\(a\)，\(b\)对于模\(m\)同余，记作： \[ a \equiv b \pmod m \]

例如\(42 \equiv 12 \pmod {10}\)，因为\(42\)和\(12\)都可以被\(10\)整除，余数都是\(2\)。

负数的取模

对于负数，我们可以将其转化为对应的非负数再取模。例如，\(-17 \bmod 10\)可以转化为\(((-17 \bmod 10) +10) \bmod 10 = (-7 +10) \bmod 10\)，结果是\(3\)。 也就是说，如果我们发现 \((x \bmod m) < 0\)，可以加上一个\(m\)，得到非负数。

为避免判断\(x\bmod m < 0\)，可以写成 \[ (x \bmod m + m) \bmod m \]

这样无论\(x\)是否为负数，运算结果都会落在区间\([0,m−1]\)中。

除法的取模

如果要计算\(\frac{24}{8} \bmod 5\)，如果像加法或乘法处理，写成\(\frac{24 \bmod 5}{8 \bmod 5} \bmod 5 = \frac{4}{3}\)，明显不是正确答案\(3\)。先有结论：

如果\(p\)是一个质数，\(a\)是\(b\)的倍数且\(b\)和\(p\)互质，那么有 \[ \frac{a}{b} \bmod p = (a \cdot b^{p-2}) \bmod p \]

如果实际题目中推导出了包含除法的求余式，可以用上式转换成乘法，并用快速幂计算\(b^{p-2} \bmod p\)。

证明：

• 引理1： 当\(p\)是质数且\(1 \leq i \leq p-1\)时，有 \[ \mathrm{C}_p^i \equiv 0 \pmod p \]

其中 \[ \mathrm{C}_p^i = \frac{p!}{i!(p-i)!} \] 证明：当\(p\)是质数且\(1 \leq i \leq p-1\)时，\(\frac{p!}{i!(p-i)!}\)分母一定不含\(p\)，由于分子中包含\(p\)且\(\mathrm{C}_p^i\)为整数，所以\(\mathrm{C}_p^i\)一定能被\(p\)整除，即\(\mathrm{C}_p^i \equiv 0 \pmod p\)。

• 引理2： 根据二项式定理，有 \[ (x+y)^p = \sum_{k=0}^{p}{\mathrm{C}_p^k x^{p-k} y^k} = \sum_{k=0}^{p}{\mathrm{C}_p^k x^k y^{p-k}} \]

当\(p\)为质数，且\(x, y \in \mathbb{z}\)时，除去\(k=0\)和\(k=p\)两项，根据引理1，其余项与\(0\)关于\(p\)同余。即 \[ \sum_{k=1}^{p-1}{\mathrm{C}_p^k x^{p-k} y^k} \equiv 0 \pmod p \] 拆分 \[ \begin{align} (x+y)^p &= \mathrm{C}_p^0 x^p y^0 + \sum_{k=1}^{p-1}{\mathrm{C}_p^k x^{n-k} y^k} + \mathrm{C}_p^p x^0 y^p \\ &=x^p + y^p + \sum_{k=1}^{p-1}{\mathrm{C}_p^k x^{n-k} y^k} \end{align} \]

于是当\(p\)为质数，且\(x, y \in \mathbb{z}\)时，有： \[ (x+y)^p \equiv x^p + y^p \pmod p \]

根据费马小定律，对任意整数\(a\)和任意质数\(p\)，有： \[ a^p \equiv a \pmod p \] 证明：当\(a = 0\)时，\(0^p \equiv 0 \pmod p\)成立； 已知引理2，通过归纳法，我们可以得到： \[ (x_1+ ... +x_n)^p \equiv x_1^p + ... + x_n^p \pmod p \]

如果将\(a\)展开为\(a\)个\(1\)相加，\(a=1+...+1\),代入上式有： \[ a^p \equiv (1+ ... +1)^p \equiv 1^p + ... + 1^p \equiv a \pmod p \]

根据数学归纳法，原命题对于 \(a\ge 0\) 成立。对于\(a < 0\)的情况同理，证明完毕。

如果\(a\)不是\(p\)的倍数，费马小定理也可以写成更加常用的一种形式： \[ a^{p-1} \equiv 1 \pmod p \] 如果\(a\)是\(p\)的倍数，显然有：\(a^{p-1} \equiv 0 \pmod p\)。

在\(a\)不是\(p\)的倍数的前提下，两边同时乘以\(\frac{b}{a}\)，有 \[ b \cdot a^{p-2} \equiv \frac{b}{a} \pmod p \]

即 \[ \frac{b}{a} \bmod p = (b \cdot a^{p-2}) \bmod p \]

总结

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// 如果取模到 [0, MOD-1] 中，无论正负
(a % MOD + MOD) % MOD

// 多个数相乘，要步步取模，防止溢出
(a * b * c) % MOD = a * b % MOD * c % MOD

// 除（MOD 是质数且 b 不是 MOD 的倍数）
(a / b) % MOD =  a * qpow(b, MOD-2, MOD) % MOD  // qpow 是快速幂

RTL8367S自制网管交换机

RTL8367S 芯片官网介绍

RTL8367S-CG

二层管理 5+2 端口 10/100/1000M 交换机控制器

概述

RTL8367S-CG 是一款 LQFP-128 封装的高性能 5+2 端口 10/100/1000M 以太网交换机，具有低功耗集成 5 端口 Giga-PHY，支持 1000Base-T、100Base-TX 和 10Base-T传输标准。

对于特定应用，RTL8367S 支持一个额外的接口，可配置为 RGMII/MII 接口。 RTL8367S 还支持一个可配置为 SGMII/HSGMII 接口的 Ser-Des 接口。 RTL8367S集成了高速交换机系统的所有功能；包括用于数据包缓冲的 SRAM、无阻塞交换结构以及单个 CMOS 器件中的内部寄存器管理。

特点

单芯片 5+2 端口 10/100/1000M 无阻塞交换架构

嵌入式 5 端口 10/100/1000Base-T PHY

每个端口支持全双工 10/100/1000M 连接（半双工仅在 10/100M 模式下支持）

额外接口（扩展 GMAC1）支持

SGMII (1.25GHz) 接口

HSGMII (3.125GHz) 接口

额外接口（扩展GMAC2）支持

媒体独立接口 (MII)

简化的 10/100/1000M 媒体独立接口 (RGMII)

通过 IEEE 802.3x 流量控制和背压进行全双工和半双工操作

应用

5 端口 1000Base-T 路由器，带 SGMII/HSGMII 和/或 MII/RGMII

芯片官网介绍：https://www.realtek.com/Product/Index?id=3699

RTL8367S-CG_Datasheet.pdf¹

原理图

外围电路

1. 使用 USB-C 输出5V电源
2. 使用 SY8088IAAC 实现 5V 降压 3.3V，使用RTL8367S自带电压转换输出1.1V
3. 使用 W25Q32JVSSIQ 4MB spi norflash 存储固件
4. 使用 5个 HR911130A 自带变压器和 LED 的单端口RJ45连接器
5. 转出 TX/RX 串口
6. 带 3.3V 供电拉低按钮 + 芯片重置按钮
7. 25M 晶振时钟

3D效果图

固件

借用网件GE105Ev2的固件

https://www.netgear.com/cn/business/wired/switches/plus/gs105ev2/

网件固件.bin，大小2M。

使用烧录器（例如CH341）烧写到 spi norflash中。

修改mac地址

固件MAC地址固定为00:00:00:00:00:01，编辑固件中偏移地址 0x1FC000指定MAC地址，可以随机生成MAC

C语言零长数组使用技巧

在标准C语言（ANSI C）中规定不能定义长度为0的数组。标准可见 ISO 9899:2011 章节 6.7.6.2

数组长度的声明表达式中，如果表达式是一个常量表达式，它的值应该大于零。

但是，有些编译器就把0长度的数组成员作为自己的非标准扩展，例如GNU C —— Arrays of Length Zero。

什么是零长数组

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#include <stdio.h>

int main() {
    int buf[0];
    printf("sizeof(int[0]) = %lu", sizeof(buf));
    //      sizeof(int[0]) = 0
    return 0;
}

在程序中定义一个零长度数组，sizeof() 计算出大小为0，也就是说，零长数组是不占用内存空间的。

怎么使用零长数组

零长度数组一般不单独使用，它常常作为结构体的最后一个成员，构成一个变长结构体。

我们定义一个结构体用于接受对端发送的所有传感器数据：

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typedef struct {
    uint8_t sensor_num;         // 传感器数量
    uint8_t single_info_size;   // 单个传感器数据size
    SENSOR_INFO_S info[0];      // 定义一个零长结构体数组，表示具体数据，数据大小 = sensor_num * sensor_info_size
} SENSOR_RSP_S;

当然我们也可以申请一个指针，指向紧挨SENSOR_RSP_S 结构体的下一个地址，比起指针，用零长数组有这样的优势：

1. 不需要初始化，数组名直接就是所在的偏移；
2. 不占任何空间，指针需要占用空间，空数组不占任何空间。意味着无需初始化，数组名就是后面元素的地址，直接就能当指针使用。

使用以上定义的结构体实现以下功能：

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// 对rsp地址赋值
const SENSOR_RSP_S *rsp = get_sensor_data();
size_t rsp_len = get_sensor_data_length();

// 判断长度合法性，直接使用sizeof(SENSOR_RSP_S)
if (rsp_len != sizeof(SENSOR_RSP_S) + rsp->sensor_num * rsp->single_info_size) {
    ...
}

// 遍历访问数据，数据描述和数据内容均来自rsp，理解清晰
for (size_t i = 0; i < rsp->sensor_num; i++) {
    show_sensor(rsp->info[i]);
}